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思维拓展]数学大观-分形几何趣味谈

发布时间:2019-04-30 19:52 来源:未知 编辑:admin

  数千年以来,我们涉及的和研究的主要是欧氏几何。欧氏几何主要是基于中小尺度上,点线、面之间的关系,这种观念与特定时期人类的实践认识水平是相适应的,有什么样的认识水平就有什么样的几何学。当人们全神贯注于机械运动时,头脑中的图象多是一些圆锥曲线、线段组合,受认识主客体的限制,欧氏几何具有很强的“人为”特征。

  这样说并非要否定欧氏几何的辉煌历史,只是我们应当认识到欧氏几何是人们认识、把握客观世界的一种工具、但不是唯一的工具。

  进入20世纪以后,科学的发展极为迅速。特别是二战以后,大量的新理论、新技术以及新的研究领域不断涌现,同以往相比,人们对物质世界以及人类社会的看法有了很大的不同。其结果是,有些研究对象已经很难用欧氏几何来描述了,如对植物形态的描述,对晶体裂痕的研究,等等。

  美国数学家B, Mandelbrot曾出这样一个著名的问题:英格兰的海岸线到底有多长?这个问题在数学上可以理解为:用折线段拟合任意不规则的连续曲线是否一定有效?这个问题的提出实际上是对以欧氏几何为核心的传统几何的挑战。

  实际上,数学家们很早就认识到,有的曲线不能用欧式几何与微积分研究其长度。但那时解决办法是讨论具备什么条件的曲线有长度。而没有长度的曲线就没有深入研究。

  此外,在湍流的研究。自然画面的描述等方面,人们发现传统几何依然是无能为力的。因此就产生一种新的能够更好地描述自然图形的几何学,就是分形几何。

  1975年,Mandelbrot在其《自然界中的分形几何》一书中引入了分形(fractal)这一概念。从字面意义上讲, fractal是碎块、碎片的意思,然而这并不能概括Mandelbrot的分形概念,尽管目前还没有一个让各方都满意的分形定义,但在数学上大家都认为分形有以下凡个特点:

  分形几何学已在自然界与物理学中得到了应用。如在显微镜下观察落入溶液中的一粒花粉,会看见它不间断地作无规则运动(布朗运动),这是花粉在大量液体分子的无规则碰撞(每秒钟多达十亿亿次)下表现的平均行为。布朗粒子的轨迹,由各种尺寸的折线连成。只要有足够的分辨率,就可以发现原以为是直线段的部分,其实由大量更小尺度的折线连成。这是一种处处连续,但又处处无导数的曲线。这种布朗粒子轨迹的分维是 2,大大高于它的拓扑维数 1.

  在某些电化学反应中,电极附近成绩的固态物质,以不规则的树枝形状向外增长。受到污染的一些流水中,粘在藻类植物上的颗粒和胶状物,不断因新的沉积而生长,成为带有许多须须毛毛的枝条状,就可以用分维。

  自然界中更大的尺度上也存在分形对象。一枝粗干可以分出不规则的枝杈,每个枝杈继续分为细杈……,至少有十几次分支的层次,可以用分形几何学去测量。

  有人研究了某些云彩边界的几何性质,发现存在从 1公里到1000公里的无标度区。小于 1公里的云朵,更受地形概貌影响,大于1000公里时,地球曲率开始起作用。大小两端都受到一定特征尺度的限制,中间有三个数量级的无标度区,这已经足够了。分形存在于这中间区域。

  近几年在流体力学不稳定性、光学双稳定器件、化学震荡反映等试验中,都实际测得了混沌吸引子,并从实验数据中计算出它们的分维。学会从实验数据测算分维是最近的一大进展。分形几何学在物理学、生物学上的应用也正在成为有充实内容的研究领域。

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