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3分钟看懂分形的世界

发布时间:2019-05-08 19:53 来源:未知 编辑:admin

  分形几何以非规则(非欧几里得)的几何形态为研究对象。分形几何图形能够描绘生长的力量,因此是几何的一部分。分形如今应用在天文学,经济学,气象学领域。也用于电影特效。

  1975年,法国数学家曼德尔布罗特把分形几何图形定义为: 在膨胀或收缩的时候,即便在微观层面上,也不失去其细节或者比例的图形或形状。这个属性太容易让我们想起Φ。按照黄金分割率分割的一条直线或者一个长方形,其结果仍然符合黄金分割率。其实,分形和Φ的本质都与生长有关。

  分形分为两类,几何分形和随机分形。雪花是几何分形的一个例子。用最简单的话说,雪花的扩展,是在确定的图形上加等边三角形。随机图形是计算机造出来的,模拟和游戏都涉及它。

  欧洲黑松松果的每个苞片,都处于两条螺线的交点上,这两条螺线方向相反,从底到顶,盘旋而上。

  分形几何图形可以描绘大自然的生长现象,如海岸线,蕨类和树皮。分形几何图形也存在于气象图甚至人造图形中。例如股票价格曲线或者经济预测走势,它们都呈现出自相似性。

  有些蕨类是自然界中分形图形的经典例子,叶子的每一片羽叶都是整个叶子具体而微的复制品。单个的羽片,如果放大了,看起来就像整片叶子。不仅如此,有些种类的植物,花蕾的绽放成对数螺线形。这意味着,大自然不必再植物生长的每个阶段都重新为叶子设计造型,只要一如既往地按照最初的设计复制就行了。

  有一个优势被忽略的事实,即自然的分形确实有一个尽头(它与理论的分形以及根据数学产生的分形有显著的区别)。英国海岸图是一种分形,它从整体到局部都是自相似的,甚至在放大到可以看清某处海滩的沙粒构成的情况下,它仍是分形。但是,你不能指望在细微到分子的情况下它仍然是保持自相似性-除非是纯粹数学意义上的分形。

  分形的另一个重要特点是尺度。在一个分形图形中,无规则性或者支离破碎的程度,在任何尺度上都是相同的。即使你在放大镜下观测,这种无规则性或者支离破碎的程度也不会减弱,它们仅仅是继续产生新的不规则性,而新的不规则性与你拉近镜头的速度是相当的。

  大多数人认为分形与混沌数学有关,其实,分形是非常有序的-它们仅仅是亿万相互纠缠,自我复制的自然对象凑在一起罢了。它们看似混乱,却受确定的几何原理的统摄。浮云可以说明这一点。在本质上,浮云肯定是分形的。它的轮廓线看起来虽然混乱,但实际上是一种分形,受水蒸气,空气和尘粒之间的相互作用的制约。测量或者描述一个分形,在本质上是把分形的基本图形孤立起来-这被称为分形的初始递归函数。有意思的是,斐波那契数列就是这样的递归函数之一。

  分形的典型例子有:康托尔集、谢尔宾斯基三角形和地毯、门格海绵、龙形曲线、空间填充曲线和科赫曲线。其他的例子包括李雅普诺夫分形及克莱因群(Kleinian Group)的极限集。分形可以是确定性的,如上述所有的分形;也可以是随机的(即非确定性的)。比如说,平面上布朗运动的轨迹的豪斯多夫维数等于2。

  几何统摄着许多生物的生长,自然界中的分形无处不在。螺旋状的河床上的水流,雪花结构,都在诉说着几何为物质宇宙提供的设计图。

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