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分形几何的发现

发布时间:2019-06-27 13:18 来源:未知 编辑:admin

  如果你曾经见过雪花,那你也许会像众多文学家一样惊叹于它的魅力和形状。事实上在1904年,瑞典数学家海里格·冯·科赫就描述了一种分形曲线——科赫雪花,这也是最早被描述出来的分形曲线之一。

  也正是科赫总结并超越了德国数学家魏尔施特拉斯关于分形的抽象和分析定义,给出了一个更加几何化的定义并描述了科赫曲线的构造方法。

  给定一个直线线段,将它三等分,在中间的分段中加入一个等边三角形;去掉这个三角形的底边;将这个最新得到的等边三角形的两条边进行三等分,依旧以中段为底做出等边三角形并去掉这个底边;这样一步一步进行分段,当次数越来越多时,科赫曲线的长度也会越来越长。当分段次数无限大时,科赫曲线的长度也会无限长。如果给出三段初始的科赫线段构成一个等边三角形,那么这三段科赫曲线将会组成科赫雪花的分形图案。

  在1904年科赫具体提出分形的概念之前,分形的数学思想可以追溯到17世纪。数学家莱布尼茨就思考了递归的自相似性,莱布尼茨也曾经在他的著作中使用了分数指数一词,并感慨几何学中尚未有人进行这方面的工作。这一想法在当时属于新兴概念,之后也很少有科学家对这样的概念做进一步的解释和发展,大抵是因为当时对新概念的抵触心态。因此直到两百年之后的1872年,德国数学家魏尔施特拉斯形式化地定义了函数和函数的图,在今天也被认为具有分型的思想。1883年,德国数学家康托尔提出了康托尔集,说的是位于一条线段上的一些点的集合具有许多显著和深刻的特质。康托尔集奠定了现代点集拓扑学的基础,其中最常见的一种康托尔集的构造就是康托尔三分点集,是通过去掉三分线段的中间一段得到的。

  在前人的基础上,科赫总结出了分形的最初的具体概念。曼德勃罗最早总结了分形图形的特点,大意便是分形图形的每一个小部分经过放大后都可以与整体一样。而事实上,自相似性可能表现为类似科赫雪花一样精确的自相似性;也可能表现为准自相似性,即小集合可能包含近似,但并非精确的大集合的副本;也可能是统计自相似性,即随机生成的分形图案,随机地重复一种模式,这种情况下的数值或统计量度能够在不同尺度上得以保留;还有可能是如同时间序列那样的定性自相似性;或者多重分形缩放,以不止一个分形维数作为特征进行分形变化。

  所谓分形几何也可以说是研究不规则曲线的几何学,目前分形几何已经在包括物理、建筑学、计算机、医学甚至艺术的众多领域中得以广泛应用。

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