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分形与混沌_图

发布时间:2019-07-25 21:15 来源:未知 编辑:admin

  分形与混沌 分形几何的基本思想 分形的思想 多少世纪以来,人们总是用欧几里得几 何的对象和概念(诸如点、线、平面、空间、 正方形、圆……)来描述我们这个生存的世 界。而非欧几何的发现,引进了描画宇宙现 象的新的对象。分形就是这样一种对象。 分形的思想初见于公元1875至1925年数学 家们的著作。这些对象被贴上畸形怪物的标 签,人们深信它没有丝毫的科学价值。它就 是今天人们众所周知的分形。分形一词是曼 德勃罗于1975年创造的,曼德勃罗在该领域 有着广泛的发现。 从严格意义上讲,分形是这样一种对象, 将其细微部分放大后,其结构看起来仍与原 先的一样。这与圆形成了鲜明的对比,把圆 的一部分放大后便变得比较平直。分形可分 为两类:一是几何分形,它不断地重复同一 种花样图案;另一种是随机分形。计算机和 计算机绘图能够把这些“畸形怪物”可靠地带 回到生活中,在计算机的屏幕上,几乎能够 立即产生分形,并显示出它们奇妙的形状、 艺术图案或细微的景观。 可能有人感到,只有欧几里得几何的正 规形状才能应用在科学中,然而上述新的形 式却从不同的透视角度向我们提供了认识自 然的观点。分形是一个新的数学领域--有时 也把它归为自然界的几何,因为这些奇异而 混沌的形状,不仅描绘了诸如地震、树、树 枝、生姜根、海岸线等自然现象,而且在天 文、经济、气象、电影制片等方面也有广泛 应用。 分形几何 普通几何学研究的对象,一般都具有整数 的维数。比如,零维的点、一维的线、二维的 面、三维的立体、乃至四维的时空。最近十几 年的,产生了新兴的分形几何学,空间具有不 一定是整数的维,而存在一个分数维数,这是 几何学的新突破,引起了数学家和自然科学者 的极大关注。 严格地而且正式地去定义分形是一件非常 复杂而且困难的事情。但是,有一些不太正 规的定义却可以帮助我们理解分形的含义。 在这些定义中,最为流行的一个定义是:分 形是一种具有自相似特性的现象、图象或者 物理过程。也就是说,在分形中,每一组成 部分都在特征上和整体相似,只仅仅是变小 了一些而已。 让我们来看下面的一个例子。下图是 一棵厥类植物,仔细观察,你会发现,它 的每个枝杈都在外形上和整体相同,仅仅 在尺寸上小了一些。而枝杈的枝杈也和整 体相同,只是变得更加小了。那么,枝杈 的枝杈的枝杈呢?自不必赘言。 如果你是个有心人,你一定会发现在自 然界中,有许多景物和都在某种程度上存在 这种自相似特性,即它们中的一个部分和它 的整体或者其它部分都十分形似。其实,远 远不止这些。从心脏的跳动、变幻莫测的天 气到股票的起落等许多现象都具有分形特性。 这正是研究分形的意义所在。例如,在道· 琼 斯指数中,某一个阶段的曲线图总和另外一 个更长的阶段的曲线图极为相似。 上图中的风景图片又是说明分形的另一很 好的例子。这张美丽的图片是利用分形技术生 成的。在生成自然真实的景物中,分形具有独 特的优势,因为分形可以很好地构建自然景物 的模型。 除了自相似性以外,分行具有的另一 个普遍特征是具有无限的细致性。上面的 动画所演示的是对Mandelbrot集的放大, 只要选对位置进行放大,就会发现:无论 放大多少倍,图象的复杂性依然丝毫不会 减少。但是,注意观察上图,我们会发现: 每次放大的图形却并不和原来的图形完全 相似。这告诉我们:其实,分形并不要求 具有完全的自相似特性。 不管你信不信,上面的这张月球表面的照片 也是用分形技术生成的。如果你把图片放大观看, 也可以看到更加细致的东西。因为,分形能够保 持自然物体无限细致的特性,所以,无论你怎么 放大,最终,还是可以看见清晰的细节。 Kohn雪花和Sierpinski三角形也是比较 典型的分形图形,它们都具有严格的自相 似特性(仔细看看,是不是这样?)。但 是在前面说述的Mandelbrot集合却并不严 格自相似。所以,用“具有自相似”特性来 定义分形已经有许多局限了。 研究对象 ? 有一类问题却比较特别,Mandelbrot就提出 了这样一个问题:英国的海岸线有多长? 英国的海岸线地图 Koch 曲线 Koch 曲线(续) ? Koch曲线曾经在数学界成为一个魔鬼。 ? 同样的道理:长度无限、面积为零、而曲线 还有“界”。 ? 另外,有一个特点:当取其中的一部分展开, 与整体有完全的自相似性,似乎是一个什么 东西的无数次的自我复制。 Logistic集 所谓无限嵌套的自相似结构说得通俗 一些即局部与整体相似。对局部放大后的 形象与整体形象相同或近似相同。除上面 讲到的周期窗口外,以下一些时间或空间 序列的自相似结构实例也必将有助于我们 的理解。 雪花,(2)闪电,(3)血管系统,(4)海 岸线)某人在看电视, 电视中还是某人在看电视······, (10)布朗运动,(11)社会经济的许多演化 过程,(12)一个故事:从前有座山,山上 有座庙,庙里有一个老和尚给小和尚讲故 事:从前有座山······请大家充分 发挥想像力,举更多的例子。 具有无限嵌套的自相似结构是混沌 现象的普遍特性。 Julia Set ? Julia Set: Zn+1 = Zn2 + C ? 令複數 C 為一定值,將 Z 平面上任意一點代入,則 Z 平面上部分區域收斂,部分區域發散, 而發散與 收斂區域間的邊界,即為 Julia Set 的圖形。 ? 根据C、Z0的不同会生成不同的Julia集合 混沌 ? 混沌可以说他是确定性的行为; ? 或者,若考虑他出现在稍微有点随机性的实 际系统中,也可以说他是近似与确定性的, 然而却不是看起来像确定性的。 ? 在某些动力系统中,两个几乎一致的状态经 过充分长的时间后会变得毫无一致性。 Mandelbrot Set ? 在复平面中,M集是通过下述迭代式产生的: Zn+1=Zn^2+C。 其中,Z和c都是复数,由各自的实部 和虚部组成 Xn+1+iYn+1 = (Xn+iYn)2+Cx+iCy 曼德勃罗集是人类有史以来做出的最奇异,最瑰 丽的几何图形.这个点集均出自公式:Zn+1=Z2n+C,这 是一个迭代公式,式中的变量都是复数.这是一个大 千世界,从他出发可以产生无穷无尽美丽图案,他是 曼德勃罗教授在二十世纪七十年代发现的. 你看上图中,有的地方象日冕,有的地方象 燃烧的火焰,只要你计算的点足够多,不管你 把图案放大多少倍,都能显示出更加复杂的 局部.这些局部既与整体不同,又有某种相似 的地方,好像着梦幻般的图案具有无穷无尽 的细节和自相似性.曼德勃罗教授称此为魔 鬼的聚合物.为此,曼德勃罗在1988年获得 了科学为艺术大奖.请看如下的图形产生过 程,其中后一个图均是前一个图的某一局部 放大: 如下是产生上图的出发点 自然界中的其他事物 ? 取下一片蕨类植物叶子似 乎与整体有某种相似性。 ? England的海岸线从视觉 上也感觉有某种自相似性 自然界中的分形 山 星 云 星 云 天空中的云朵 植物的叶子 毛细血管分布 视乳头旁毛细血管瘤 视网膜中央动脉颞上支阻塞 河流分布图 自然界中的分形 ? 股票价格曲线 ? 岩石裂缝 ? 金属损伤裂缝 ? 道路分布 ? 神经末梢的分布 …………

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