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初步认识分形

发布时间:2019-07-25 21:18 来源:未知 编辑:admin

  目录 一、分形的相关资料 拓展学习 什么是分形几何? 分形几何的诞生 研究结论 分形几何向传统欧氏几何提出的挑战 分形的艺术欣赏 附录 二、分形的数学研究 科赫雪花曲线(包括数学研究结果) 朱利亚集 曼德尔布罗特集 三、我们的研究 谢尔斯基三角形的探究 自创分形并加以研究 高二(2) 分形几何课题小组 组长:林文成 组员:姚潇华(记录员) 薛文鸿(电脑操作员) 黄昱霖(资料搜集整理) 杨康炜(资料搜集整理) 陈敏捷(资料搜集整理) 指导老师:郑天宇、周灵、孙世健 什么是分形几何? “分形几何”通俗一点说就是研究无限复杂但 具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。所 谓“自相似”,例如一棵苍天大树与它自身上的树 枝及树枝上的枝杈,在形状上没什么大的区别,大 树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系; 例如高山的表面,您无论怎样放大其局部,它都如 此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。 分形几何揭示了世界的本质,分形几何是真正 描述大自然的几何学。 分形几何的诞生 “分形”一词译于英文Fractal,系分形几 何的创始人曼德尔布罗特(B.B.Mandelbrot)于 1975年由拉丁语Frangere一词创造而成,词本身 具有破碎、不规则等含义。Mandelbrot研究 中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名字 命名的集合,他发现整个宇宙以一种出人意料的 方式构成自相似的结构。Mandelbrot 集合图形 的边界处,具有无限复杂和精细的结构。如果计 算机的精度是不受限制的话,您可以无限地放大 她的边界。 (见图1) 图2、图3将图1中两个矩形框区域放大后的 图形。 你会惊奇地发现:当你放大某个区域,它的 结构就在变化,展现出新的结构元素。无论您怎 样放大它的局部,它总是曲折而不光滑,即连续 不可微。微积分中抽象出来的光滑曲线在我们的 生活中是不存在的。所以说,Mandelbrot集合是 向传统几何学的挑战。 他开创了一个全新的几何 学的分支! 分形几何向传统欧氏几何提出的挑战 多少世纪以来,人们总是用欧几里得几何的对象和 概念(诸如点、线、平面、空间、正方形、圆……) 来描述我们这个生存的世界。而非欧几何的发现,引 进了描画宇宙现象的新的对象。分形就是这样一种对 象。可以说分形几何揭示了世界的本质,分形几何是 真正描述大自然的几何学。 可能有人感到,只有欧几里得几何的正规形状才 能应用在科学中,然而分形的形式却从不同的透视角 度向我们提供了认识自然的观点。 分形是一个新的数学领域——有时也把它归为 自然界的几何,因为这些奇异而混沌的形状,不仅 描绘了诸如地震、树、树枝、生姜根、海岸线等自 然现象,而且在天文、经济、气象、电影制片等方 面也有广泛应用。所以说,分形几何突破了传统欧 氏几何的局限,开创了前所未有的研究领域。 分形的艺术欣赏 分形图可以体现出许多传统美学的标准,如平 衡、和谐、对称等等,但更多的是超越这些标准的 新的表现。比如,分形图中的平衡,是一种动态的 平衡,一种画面各个部分在变化过程中相互制约的 平衡;分形图的和谐是一种数学上的和谐,每一个 形状的变化,每一块颜色的过渡都是一种自然的流 动,毫无生硬之感;而最特别的是分形的对称,它 既不是左右对称也不是上下对称,而是画面的局部 与更大范围的局部的对称,或说局部与整体的对称。 在分形图中更多的是分叉、缠绕、不规整的边缘和 丰富的变换,它给我们一种纯真的追求野性的美感, 一种未开化的,未驯养过的天然情趣。 (图库) 图1 图3 图2 分形的数学探究 (1)通过分形图的欣赏,体会分形的思想,初步认 识分形;感悟数学与艺术在审美上的统一,提高审 美情趣;认识事物在简单中孕育着复杂的辩证观点, 发展辩证思维;体会计算机图形技术和迭代思想在 分形研究中的重要作用。 (2)认识康托尔三分集、科赫曲线与科赫雪花曲线、 朱利亚集、曼德尔布罗特集、谢尔宾斯基垫片与地 毯、门杰海绵、皮亚诺曲线等基本分形,掌握其构 造方法,能能用《几何画板》作出生成它们的头几 步图形,并对曲线的“生长”规律进行研究。 科赫雪花曲线 从它的任何一个局部经过放大,都可以得到一个 和整体全等的图形. 经过n次 曲线)边长:bn ? ? ? ? 3? (3)周长:cn (4)尖角:d n n ?1 ?3 2? n n ?1 ?4 n?1 ?4 ?2 n ?1 3 ? 4? 8 (5)面积:Sn ? ? ? ? , lim Sn ? 5 ? 9 ? n?? 5 朱利亚集 按照一定的数学原理在平面上构造的点集。 朱利亚集具有异常美丽的形状,并且利用他可以模 拟出山峰,云彩,湖泊等等自然景观,以下四个图形 都是朱利亚集的图形。 曼德尔布罗特集 原始图形如下,从它出发,每个细部都可以演绎 出美丽无比的梦幻般的仙境似的图形。 前人研究的并发现的分形是丰富多 彩的,他们为后人的研究开辟了道路, 指导了方向,这些前人的探究成果是我 们初步了解到什么是分形,并且认识到 分形几何所蕴涵的知识的探究价值。这 深深的激发了我们对分形几何的兴趣。 我们的研究 我们用课本学过的方法如如累积法、累加法等, 对简单分形几何图形展开研究。 1.曲线“生长”过程中的有哪些数量特征可以研究? 边数、边长、周长、顶点数、尖角的个数、面积等 变化规律。 2.应用的知识与方法: (1)公式法(适合于等差、等比数列); (2)差项法; (2)观察、归纳、猜想、证明(数学归纳法); 1.谢尔斯基三角形的探究 经过n次 三角 形形 状: 边长 (l) 面积: 相 差 倍 数 底 值 X 高 /2 每个三 角形分 离的图 形 总数 新增图形与初始 三角形比 2.自创分形并加以研究 总结: 在对分形的初步认识的基础上,我们进一步 利用自己所学到的知识(如:数列.数学归纳法等) 着重对谢尔斯基三角形进行探究,并得到了它的 渐变规律等结论。 在对已知分形的基础上,我们自己创造出了 一个分形图形,并再次运用所学的知识探究了它 “生长”的规律,其结果符合我们对分形的认识。 这次成功既是我们研究的收获,也奠定了我 们继续研究的信心。 拓展学习 1.图片举例 2.英国海岸线结论 结论 开展研究性学习的目的之一就是寻求课本之外的知识来充实 自己。因此我们离开书本,把目光移向周围的事物,这才发 现原来分形就存在于我们身边,故我们探究了现实中最具价 值的英国海岸线问题。结果着实令人满意。我们学会了利用 分形知识来分析身边的事物,这样锻炼了我们的分析,语言, 组织等能力,线.结论 分形几何: 数学、分形与龙: 分形——自然几何: 分形几何与分形艺术: 分形--真实还是想象?: 分形频道:分形的世界: 分形--科学与艺术的联姻:芒德勃罗:沿着博物学传统走来(芒德勃罗介绍): 图片来源: 分形频道:

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