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什么是分形数学

发布时间:2019-08-13 22:55 来源:未知 编辑:admin

  动力系统中的分形集是近年分形几何中最活跃和引人入胜的一个研究领域。动力系统的奇异吸引子通常都是分形集,它们产生于非线性函数的迭代和非线年,气象学家洛伦兹(E.N.Lorenz)在研究流体的对流运动时,发现了以他的名字命名的第一个奇异吸引子,它是一个典型的分形集。

  1976年,法国天文学家伊侬(M.Henon)考虑标准二次映射迭代系统时获得伊侬吸引子。它具有某种自相似性和分形性质。1986年劳威尔(werier)将斯梅尔的马蹄映射变形成劳威尔映射,其迭代下不稳定流形的极限集成为典型的奇异吸引子,它与水平线年,格雷波基(C.Grebogi)等构造了一个二维迭代函数系统,其吸附界是维尔斯特拉斯函数,并得到盒维数。1985年,迈克多纳(S.M.MacDonald)和格雷波基等得到分形吸附界的三种类型:

  动力系统中另一类分形集来源于复平面上解析映射的迭代。朱利亚(G.Julia)和法图(P.Fatou)于1918-1919年间开创这一研究。他们发现,解析映射的迭代把复平面划分成两部分,一部分为法图集,另一部分为朱利亚集(J集)。他们在处理这一问题时还没有计算机,完全依赖于他们自身固有的想象力,因此他们的智力成就受到局限。随后50年间,这方面的研究没有得到什么进展。

  随着可用机算机来做实验,这一研究课题才又获得生机。1980年,曼德尔布罗特用计算机绘出用他名字命名的曼德尔布罗特集(M集)的第一张图来。1982道迪(A.Douady)构造了含参二次复映射fc ,其朱利亚集J(fc)随参数C的变化呈现各种各样的分形图象,著名的有道迪免子,圣马科吸引子等。同年,茹厄勒(D.Ruelle)得到J集与映射系数的关系,解新局面了解析映射击集豪斯道夫维数的计算问题。茄勒特(L.Garnett)得到J(fc)集豪斯道夫维数的数值解法。1983年,韦当(M.Widom)进一步推广了部分结果 。法图1926年就就开始整函数迭代的研究。1981年密休威茨(M.Misiuterwicz)证明指数映射的J集为复平面,解决了法图提出的问题,引起研究者极大兴趣。发现超越整函数的J集与有理映射J的性质差异,1984年德万尼(R.L.Devanney)证明指数映射Eλ的J(Eλ)集是康托束或复平面而J(fc)是康托尘或连通集。

  复平面上使J(fc)成为连通集的点C组成M集即曼德尔布罗特集,尤更斯(H.Jurgens)和培特根(H-O.Peitgen)认为,M集的性质过去一直是并且将来继续是数学研究的一个巨大难题。通过将数学理论与计算机图形学实验加以融合,及道迪、扈巴德(H.Hubbard)等人在这方面进行的基础性研究工作,在解决这一难题方面已取得重大进展,使人们加深了对M集的了解。道迪和扈巴德1982年证明M集是连通的和单连通的,人们猜测M集是局部连通的,目前每一张计算机图形都证实了这一猜测,但至今还没有人能给予证明。M是否为弧连通,目前尚不清楚。M集边界的维数也是值得研究的问题之一。

  M集除了将J集分成连通与非连通的两类之外,还起着无穷个J集的图解目录表作用,即把M集C点周围的图形放大就是与C点有关的J集的组成部分。但这一发现的数学密性至今仍未确定,谭磊(Tan Lei)1985年证明了在每一个密休威茨点邻近M集与相关的J集之间存在着相似性。尤金斯等在M集的静电位研究中获得与自然形貌相似的分形图象。目前包括尤金斯等在内的很多研究人员都致力于借助计算机活动录象探索M集。其它一些分形集的研究工作正在取得进展。1990年德万尼通过数值实验观察到M集的复杂图形由许多不同周期的周期轨道的稳定区域共同构成。1991年黄永念运用他提出的代数分析法证明了这一事实,研究了M集及其广义情况周期轨道整体解析特性。

  巴斯莱(B.M.Barnsley)和德门科(S.Demko)1985年引入迭代函数系统,J集及其其它很多分形集都是某些迭代函数的吸引集,用其它方法产生的分形集也可用迭代函数系逼近。1988年,劳威尔通过数值研究发现毕达哥拉斯树花是一迭代函数系的J集。1985年巴斯莱等研究含参数的函数系迭代动力系统,得到M集D并D与M在连通性上的差异。在一线性映射系迭代下,可以产生著名的分形曲线年水谷(M.Mitzutani)等对其动力系统进行了研究。

  一般动力系统中的分形集,其豪斯道夫维数dH难以通过理论方法或计算方法求得。对于有迭式构造的分形集,贝德浮德(T.Bedford)等在1986年已给出卓有成效的算法,但对一般非线性映射迭代动力系统产生的分形集,这些结果都难以应用,其豪斯道夫维数dH的结论与算法实际上没有。卡普兰(j.L.Kaplan)和约克(J.A.York) 1979年引入李雅普洛夫维数dL并猜测dL=dH。1981年勒拉皮尔证明dH≤dL。杨(L.S.Young)1982年证明二维情况下dH=dL。艾茄瓦(A.K.Agarwal)等1986年给出例子说明高维情形卡普兰-约克猜测不成立。这一猜测力图从动力学特征推断几何结构,其反问题是由吸引子维数推断混沌力学,这是值得研究的问题。但目前工作甚少且主要限于计算机研究。此外,含参动力系统在混沌临界态或突变处的分形集维数也有待进一步研究。

  多重分形(multifractals)是与动力系统奇异吸引子有关的另一类重要分形集,其概念首先由曼德布罗特和伦依(A.Renyi)引入。法默(J.D.Farmer)等在1983年定义了多重分形广义维数。1988年博尔(T.Bohr)等人将拓扑熵引入多重分形的动力学描述与热力学类比。1988年,阿内多(A.Arneodo)等人将子波变换用于多重分形研究。费德(J.Feder)、特尔(T.Tel)等人进行了多重分形子集及标度指数的研究。阿姆特里卡等研究了多重分形的逆问题,提出广义配分函数,给出广义超越维数,对过去的维数进行了修正。李(J.Lee)等发现了多重分形热力学形式上的相变。1990年,伯克(C.Beck)得到广义维数的上下界和极限并研究了多重分形的均匀性量度。曼德布罗特研究了随机多重分形及负分维。1991年科维克(Z.Kov.acs)等引入双变量迭代系统,最大特征值和吉布斯势导出维数、熵、李雅普洛夫指数,提供了对多重分形相变分类的一般方案。对于多重分形相变分类的一般方案。对于多重分形目前虽已提出不少处理方法,但从数学的观点上看,还不够严格,部分问题的数学处理难度也较大。

  分形理论真正发展起来才十余年,并且方兴未艾,很多方面的理论还有待进一步研究。值得注意的是,近年分形理论的应用发展远远超过了理论的发展,并且给分形的数学理论提出了更新更高的要求。各种分形维数计算方法和实验方法的建立、改进和完善,使之理论简便,可操作性强,是应用分形的科学家们普遍关注的问题。而在理论研究上,维数的理论计算、估计、分形重构(即求一动力系统,使其吸引集为给定分形集)、J集和M集及其推广形式的性质、动力学特征及维数研究将会成为数学工作者们十分活跃的研究领域。多重分形理论的完善、严格以及如何用这些理论来解决实际问题可能会引起科学家们广泛的兴趣,而动力学特征、相变和子波变换可能会成为其中的几个热点。

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